HW1 答案

vNM

1. 最大的问题, 是 deepseek 完全没有提到 vNM 公理中涉及的偏好关系是定义在彩票 (概率分布) 上的, 也完全没有提到复合彩票.

   • 在公理描述中, 陈述的都是选项, 只有在连续性和独立性时提到彩票.

2. 连续性公理的表述有误, 这里描述的是"介值性", 比"连续性"要弱, 我的感觉是这个假设下无法证明 vNM 定理.

   • 注: 这里 deepseek 应该是和它训练集中关于消费者在 R^n 上偏好的公理化搞混淆了

3. 独立公理的表述有误, 这里文字部分的表述明显和选择理论中的弱显示偏好原理 (WARP) 搞混淆了, 并且只说了选项, 没有提彩票.

4. 对于存在期望效用表示, vNM 三公理是充要的, 这里只提到了充分性.

5. vNM 没有揭示决策者的风险态度. vNM 讨论的选项集合 X 是抽象的集合, 不一定是货币.

Answer (1)

投资者将财富 A 用于风险资产, 财富 w-A 用于无风险资产.

• 当风险资产回报率为 R 时, 其最终财富水平为 A(1+R) + w-A =w+AR

投资者期望效用最大化问题: \max _ {A} q \ln (w+A R_1) + (1-q) \ln (w + A R_0)

一阶条件 \implies A = \frac{w } {-R_0 R_1} \frac{ R_1 q + R_0 (1-q) } {q (1-q)}

• A 关于 w 递增. 因此, 随着财富的增加, 投资者会更多地投资风险资产.

Answer (2)

投资者期望效用最大化问题: \max _ {A} - q \exp [-(w+A R_1)] - (1-q) \exp [-(w + A R_0)]

一阶条件 \implies F(A,w) \equiv q R_1 \exp [- (w + AR_1)] + (1-q) R_0 \exp [- (w + AR_0)] = 0 均衡中, A 和 w 的关系由隐函数 F(A,w) = 0 决定. 我们无法显示地给出函数 A(w), 不过可以用隐函数法则来计算 A'(w). 注意到偏导 F_w = -F, 因此 A'(w) = - \frac {F_w (A, w)} {F_A (A, w)} = 0

• A 和 w 无关. 因此, 投资者对风险资产的投资水平和财富水平无关.

Answer (3)

对于第一位投资者 u=\ln(x):

• r(x) = -\frac{u''(x)}{u'(x)} = 1/x​
• 绝对风险规避系数随着财富的上升而下降, 因此随着财富的增加, 投资者会更多地投资风险资产

对于第二位投资者 u = -e^{-x}:

• r(x) = -\frac{u''(x)}{u'(x)} = 1
• 绝对风险规避系数和财富无关, 因此均衡中投资者的风险资产配置和财富水平无关