作业一

1. 完成"期望效用"讲义最后的练习: Ellsberg 悖论.

2. 完成"vNM 公理化模型"讲义最后的练习: Allais 悖论.

3. 完成"vNM 公理化模型"讲义中, vNM 定理 (2) => (1) 的部分.

4. 完成"货币偏好和风险规避"讲义中, 关于绝对风险规避的验证部分:

   • 记张三和李四的效用函数分别为 u 和 v. 若存在递增的严格凹函数 g 使得 v(x) = g(u(x)), 则此时李四的绝对风险规避永远高于张三.

5. 下面是 DeepSeek 于 2025-02-01, 对提示词"请用中文给出关于 vNM 期望效用理论的介绍"给出的回复, 请对照讲义"vNM 公理化模型", 挑出其中三处错误或不完善之处.

vNM 期望效用理论（von Neumann-Morgenstern Expected Utility Theory）是由数学家约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）和经济学家奥斯卡·摩根斯坦（Oskar Morgenstern）在20世纪40年代提出的一种决策理论框架。该理论旨在描述理性个体在面临不确定性时如何做出选择，并为经济学、金融学、心理学等领域提供了重要的分析工具。

核心思想 vNM 期望效用理论的核心思想是：当个体面临不确定的选择（例如赌博或投资）时，他们会根据每个可能结果的效用及其发生的概率，计算出一个“期望效用”，并选择期望效用最高的选项。换句话说，理性决策者会最大化其期望效用，而不是简单地追求最大化的期望收益。

基本假设 vNM 期望效用理论建立在以下假设基础上：

• 完备性（Completeness）. 决策者能够对任何两个选项进行比较，要么偏好其中一个，要么对两者无差异。

• 传递性（Transitivity）. 如果决策者偏好选项A胜过B，且偏好B胜过C，那么他们必然偏好A胜过C。

• 连续性（Continuity）. 如果决策者偏好A胜过B，且偏好B胜过C，那么存在一个概率 p，使得决策者对B与一个以概率p获得A、以概率 1−p 获得C的彩票无差异。

• 独立性（Independence） 决策者对两个选项的偏好不受其他无关选项的影响。 例如，如果A比B更受偏好， 那么一个以概率 p获得A、以概率 1−p 获得C的彩票， 也会比一个以概率 p获得B、以概率 1−p 获得C的彩票更受偏好。

效用函数 根据vNM理论，决策者的偏好可以通过一个效用函数来表示。效用函数为每个可能的结果分配一个数值，决策者通过计算期望效用来比较不同的选择。期望效用的计算公式为： EU = ∑_i p_i U(x_i)

风险态度 vNM 理论还揭示了决策者的风险态度，这可以通过效用函数的形状来反映：

• 风险中性（Risk Neutral）：效用函数是线性的，决策者只关注期望收益。
• 风险规避（Risk Averse）：效用函数是凹的，决策者倾向于规避风险。
• 风险偏好（Risk Seeking）：效用函数是凸的，决策者倾向于追求风险。