作业二

1. 阅读"道德风险简介"部分的幻灯片, 证明张三在保费为 \pi = 1 - p(e) 时, 会选择全险: C = L.

   • 提示: 你只需写出张三的期望效用函数, 论证它关于 C 的偏导始终为正即可.

2. 假设 Y 服从对数正态分布: \ln Y \sim N (\mu, \sigma^2). 本问题涉及计算 Y 的期望, 从下面两小问中选择一问回答即可. (第二小问简单一些, 擅长微积分计算的同学可以尝试第一小问)

   • 证明 𝔼 [Y] = \exp(\mu + σ^2/2).
   • 使用任何你喜欢的计算工具 (Julia/Python/R/...), 用数值仿真验证 Y 的期望关于 σ^2 递增. 具体地, 你需要完成如下步骤:
     1. 令 \sigma^2 = 1, 从分布 N (0, \sigma^2) 抽取 N=1000 个样本: z_1, ..., z_{N}.
     2. 令 y_i = \exp(z_i), 计算 \{ y_i \}_{i=1}^{N} 的样本均值 \bar y = ∑_{i=1}^N y_i/N.
     3. 另取 \sigma^2 = 3,6,9,12, 重复上述过程, 验证你得到的样本均值关于 \sigma^2 递增.

   你可以通过修改下面的 Python 示例代码得到第二小问的答案. 示例代码计算了方差为 4 时的样本均值 \bar y, 你可以将它封装为一个函数, 函数的输入是正态分布的方差 (variance), 输出是样本均值, 并进一步验证样本均值关于方差递增.

   from scipy.stats import norm
   import numpy as np
   
   # 设定参数
   N = 1_000
   mean = 0
   variance = 4
   std_dev = np.sqrt(variance)
   
   # 数据生成
   data = norm.rvs(loc=mean, scale=std_dev, size=N)
   data = np.exp(data)
   
   # 计算均值
   sample_mean = np.mean(data)
   
   print(f"Sample mean: {sample_mean}")

3. 考虑如下包括公司(委托人)和张三(代理人)的道德风险问题. 博弈双方都是风险中性的, 且保留效用均为 0.

   张三选择某个努力水平 a = (a_1, a_2) \in ℝ^2_+. 注意, 这里张三的行动 a 是二维的, 你可以理解为张三在承担两个项目. 项目 1 的产出为 q_1, 项目 2 的产出为 q_2.

   给定 (a_1, a_2), 产出 q = (q_1, q_2) 为: q_1 = a_1 + e_1, \quad q_2 = a_2 + e_2
   其中 e_1, e_2 ∼ N(0, σ^2), 且 e_1 和 e_2 是独立的. 张三的努力成本为 c(a_1, a_2) = (a_1^2 + a_2^2) / 2 + ka_1a_2 其中 k ∈ [-1, 1]. 公司利润为 q_1 + φ q_2 - w，其中 φ > 0 外生给定, w 表示支付给张三的工资.

   1. 描述该博弈的第一最优结果. (注: 第一最优结果对应公司可以直接监督张三行动的情形, 你只需描述该结果下张三的努力程度 a 即可.)

   2. 假设公司提供如下线性合同: w(q_1, q_2) = a + b_1 q_1 + b_2 q_2. 计算公司的最优线性合同以及张三的努力程度.

   3. 假设工资合同不能依赖于 q_2, 只能依赖于 q_1. 计算公司的最优线性合同.

   4. 比较 (2) 和 (3) 中的结果, 用文字解释其中的差异.

4. 以下是 DeepSeek (reasoning model) 于 2025-03-19, 对提示词

   用中文向我介绍信息经济学中的道德风险模型。你可以默认我数学很好，回复中可以使用数学模型进行说明

   给出的回复. 请挑出其中的三处错误或不妥之处. (我们课上目前只介绍了单期的道德风险模型, DeepSeek 回复中的多期模型、团队模型、多任务模型还没有涉及. 之后我们会专门介绍动态模型.)

我将从数学模型角度系统介绍信息经济学中的 道德风险（Moral Hazard） 模型。以下内容假设您熟悉博弈论、期望效用理论和最优化方法。

道德风险（Moral Hazard）

道德风险问题可分为两类：

1. 隐藏行动（Hidden Action）：代理人行动不可观测（如员工努力程度）。
2. 隐藏信息（Hidden Information）：代理人拥有私人信息（如项目风险类型）。

以下重点讨论 隐藏行动 模型。

1. 模型设定（委托-代理框架）

• 代理人（如经理）选择行动 a \in A，影响产出 \pi(a)，但行动不可观测。
• 产出函数：\pi(a) = a + \epsilon，其中 \epsilon \sim N(0, \sigma^2)。
• 合同设计：委托人（如股东）设计支付合同 s(\pi)，最大化期望利润 E[\pi - s(\pi)]，同时满足：
  1. 参与约束（PC）：E[u(s(\pi)) - c(a)] \geq \bar{u}
  2. 激励相容约束（IC）：a \in \arg\max_{a'} E[u(s(\pi(a'))) - c(a')]

2. 数学推导（以线性合同为例）

• 假设：

  • 代理人效用函数：u(w) = -e^{-r w}（指数效用，r 为风险厌恶系数）
  • 成本函数：c(a) = \frac{1}{2} a^2
  • 线性合同：s(\pi) = \alpha + \beta \pi

• 代理人最大化问题：
  \max_a \left\{ E[u(\alpha + \beta \pi(a))] - \frac{1}{2}a^2 \right\} 由于 \pi(a) = a + \epsilon，期望效用化简为： \alpha + \beta a - \frac{r}{2} \beta^2 \sigma^2 - \frac{1}{2}a^2 一阶条件得最优行动 a^* = \beta。

• 委托人问题：
  \max_{\alpha, \beta} E[\pi(a^*) - s(\pi(a^*))] = \max_{\alpha, \beta} \left( a^* - \alpha - \beta a^* \right) 结合参与约束 \alpha + \beta a^* - \frac{r}{2} \beta^2 \sigma^2 - \frac{1}{2}(a^*)^2 = \bar{u}，解得： \beta^* = \frac{1}{1 + r \sigma^2} 风险分担与激励的权衡：\beta^* 随 r 或 \sigma^2 增大而减小。

3. 经济意义

• 代理人努力不足（a^* = \beta < 1），因需承担风险（\beta < 1）。
• 最优合同需在 激励强度 与 风险分担 间平衡。

二、隐藏行动模型的扩展

1. 一般化委托-代理模型

模型设定

• 代理人行动：a \in A，影响产出 \pi \in \mathbb{R}，其分布为 F(\pi | a)，密度 f(\pi | a)。
• 合同：委托人设计支付 s(\pi)，最大化期望利润： \max_{s(\pi)} \int \left[ \pi - s(\pi) \right] f(\pi | a) d\pi
• 约束条件：
  • 参与约束（PC）：\int u(s(\pi)) f(\pi | a) d\pi - c(a) \geq \bar{u}
  • 激励相容约束（IC）：a \in \arg\max_{a'} \left[ \int u(s(\pi)) f(\pi | a') d\pi - c(a') \right]

一阶方法（First-Order Approach）

假设 a 一维连续，且满足单调似然比性质（MLRP），可用 一阶条件替代 IC： \int u(s(\pi)) \frac{\partial f(\pi | a)}{\partial a} d\pi = c'(a)

最优合同设计

利用拉格朗日乘数法，最优支付 s^*(\pi) 满足： \frac{1}{u'(s(\pi))} = \lambda + \mu \frac{\frac{\partial f(\pi | a)}{\partial a}}{f(\pi | a)} 其中 \lambda（PC乘子）和 \mu（IC乘子）为常数。

经济含义：最优合同将支付与产出对努力程度的敏感度 \frac{\partial f / \partial a}{f} 挂钩（即“似然比”）。

2. 多任务道德风险（Holmström-Milgrom, 1991）

模型设定

• 代理人同时执行 n 项任务，行动 \mathbf{a} = (a_1, \dots, a_n)，成本函数 c(\mathbf{a})。
• 产出 \pi = \sum_{i=1}^n a_i + \epsilon，其中 \epsilon \sim N(0, \Sigma)（协方差矩阵 \Sigma）。

线性合同与最优激励强度

假设合同 s(\pi) = \alpha + \boldsymbol{\beta}^T \pi，代理人最大化： \max_{\mathbf{a}} \left[ \alpha + \boldsymbol{\beta}^T \mathbf{a} - \frac{r}{2} \boldsymbol{\beta}^T \Sigma \boldsymbol{\beta} - c(\mathbf{a}) \right] 一阶条件给出 \nabla c(\mathbf{a}) = \boldsymbol{\beta}。

委托人问题：选择 \boldsymbol{\beta} 最大化： \mathbf{a}^T \mathbf{1} - \boldsymbol{\beta}^T \mathbf{a} - \frac{r}{2} \boldsymbol{\beta}^T \Sigma \boldsymbol{\beta} 关键结论：

• 若任务间成本互补（如 c(\mathbf{a}) = \frac{1}{2} \|\mathbf{a}\|^2），最优激励强度为： \boldsymbol{\beta}^* = \left( I + r \Sigma \right)^{-1} \mathbf{1}
• 若任务产出负相关（\Sigma 非对角为负），激励强度需降低，以避免代理人过度关注某一任务。

3. 动态道德风险（重复委托-代理）

两期模型设定

• 每期产出 \pi_t = a_t + \epsilon_t，\epsilon_t \sim N(0, \sigma^2)，t=1,2。
• 代理人总效用：u(s_1) - c(a_1) + \delta \left[ u(s_2) - c(a_2) \right]，其中 \delta 为折现因子。

最优动态合同

• 声誉效应：第一期表现影响委托人对第二期的信念。
• 棘轮效应（Ratchet Effect）：若委托人根据第一期产出调整第二期目标，代理人可能降低第一期努力以隐藏能力。
• 数学刻画：通过逆向归纳法求解子博弈精炼均衡。

三、道德风险的解决方案

1. 信息甄别与监督

• 引入可观测的绩效指标 y，与 a 相关，设计合同 s(\pi, y)。
• 若监督成本为 k，委托人选择监督当且仅当 k < \text{代理人的信息租金}。

2. 团队惩罚与锦标赛机制

• 团队生产：多个代理人的产出关联，合同设计需避免搭便车（Free-Riding）。
  例如，设定团队奖金阈值：s_i(\pi_1, \dots, \pi_n) = \alpha + \beta \pi_i + \gamma \sum_{j=1}^n \pi_j。

3. 股权激励与长期绑定

• 将代理人报酬与企业长期价值挂钩（如股票期权），缓解短期行为。

四、数值示例（线性合同下的风险分担）

假设：

• 代理人效用：u(w) = -e^{-r w}，r=1
• 努力成本：c(a) = \frac{1}{2} a^2
• 产出：\pi = a + \epsilon，\epsilon \sim N(0, 2)

计算最优激励强度 \beta^*： \beta^* = \frac{1}{1 + r \sigma^2} = \frac{1}{1 + 1 \times 2} = \frac{1}{3} 结论：

• 代理人仅承担 1/3 的产出风险，努力水平 a^* = \beta^* = 1/3。
  
• 与帕累托最优（完全信息下 a^{FB} = 1）相比，道德风险导致显著效率损失。

五、总结与扩展方向

如需进一步探讨特定方向（如隐藏信息模型、不完全合同理论等），请随时告知！