vNM 公理化模型

上一讲中, 我们介绍了张三在信息不确定下的决策问题以及期望效用模型. 今天, 我们介绍 von Neumann-Morgenstern 关于期望效用的公理化模型, 后文简称为 vNM 模型.

vNM 模型讨论的是客观概率, 不必引入状态空间的概念. 这时, 张三的每个决策所导致的后果都可以用某个确定的概率分布来描述, 我们可以直接用概率分布来描述张三的决策.

我们把这个概率分布称为彩票 (lottery). 为了简化分析, 我们今天介绍的 vNM 模型只涉及到简单彩票 (simple lottery), 下面给出其具体定义.

简单彩票

设 X 为所有确定性结果的集合, 彩票是定义在 X 上的概率分布 p : X → [0, 1].

简单彩票 (简单概率分布)

• 如果在彩票 p 下, 所有可能发生的结果只有有限多个, 我们称 p 为简单彩票.

记 p 为简单彩票, p(x) 则表示确定性结果 x ∈ X 发生的概率.

• 符号 L(X) 表示 X 上所有简单彩票的集合.
• 集合 X 可以是无穷的, 但我们只考虑定义于其上的简单彩票.

退化彩票

• 如果在彩票 p ∈ L(X) 下, 某个结果 x \in X 会以概率 1 发生, 这时问题不再具有随机性. 我们称彩票 p ∈ L(X) 是退化的 (degenerate).
• 如果彩票 p ∈ L(X) 至少有两个不同的奖品具有正概率, 则称其为非退化彩票.

简单彩票的三种表示

下面三种表示简单彩票的方法是等价的, 你在考试时可以使用任意一种你喜欢的方式.

1. p(a) = 0.4, p(b) = 0.6
2. p = (0.4 \circ a, 0.6 \circ b)
3. 树形图

复合彩票

给定两个简单彩票 p \in L(X) 和 q \in L(X) 和实数 α \in (0,1), 称 π = (α \circ p, (1-α) \circ q) 为复合彩票, 其定义如下: π (x) = α p(x) + (1-α) q(x) \quad \forall x \in X

• 可以验证, 复合彩票 π 本身也是简单彩票.

根据上面复合彩票 π 的定义, 它的另一种写法是 π = α p + (1-α) q.

• 请你试着用树形图的方式来表示复合彩票 π.

偏好关系

设 ⪰ 是 L(X) 上张三关于彩票的偏好关系.

• 偏好关系 ⪰ 描述了张三如何对 L(X) 中的彩票进行排序.
• 对于两个彩票 p, q:
  • p ⪰ q 表示 p 优于 q.
  • p ≻ q 表示 p 严格优于 q (p ⪰ q 且 \neg (q ≾ p)).

我们希望存在一个效用函数 U : L(X) → ℝ, 使得 p ⪰ q 若且唯若 U(p) \ge U(q).

• 请注意, 这里的偏好关系 ⪰ 不是定义在确定性结果 X 上的, 而是定义在彩票 (即不确定性结果) L(X) 上的.

vNM 公理

von Neumann 和 Morgenstern 提出如下公理, 这里的公理 (axiom) 就是假设的意思.

1. ⪰ 是完备且传递的：
   • (完备性) 对于任何一对彩票 p, q, 要么 p ⪰ q, 要么 q ⪰ p.
   • (传递性) 如果 p ⪰ q 且 q ⪰ r, 则 p ⪰ r.
2. ⪰ 满足独立性公理：
   • 对于任何彩票 p, q, r 和任何 a ∈ (0, 1), 如果 p ⪰ q, 则 a p + (1 - a) r ⪰ a q + (1 - a) r
3. ⪰ 满足连续性公理：
   • 对于任何 p, q, r, 如果 p ≻ q ≻ r, 则存在 a, b ∈ (0, 1), 使得 a p + (1 - a) r ≻ q ≻ b p + (1 - b) r

关于 vNM 三公理的说明

• 同学们应该熟悉公理 1: 对于确定情形下偏好关系的讨论, 同样会要求其满足完备性和传递性.

• 公理 2 和公理 3 都涉及到复合彩票. 其中公理 3 没有太多经济学内涵, 引入它的目的是要求偏好关于概率是连续的.

• 公理 2 一般被称为独立性公理, 或替代性公理. 你可以用画树形图的方式来理解它, 并尝试说服自己这个假设是"合理"的.

vNM 定理

vNM 证明了, 当偏好关系 ⪰ 满足上面三条公理 (假设) 时, 该偏好对应的效用函数 U : L(X) \to ℝ 不仅存在, 而且可以表示为某个定义在 X 上的效用函数 u 的期望.

• 一般称 u 为张三的 vNM 效用函数.

期望效用表示 (Expected utility representation). 称定义在 L(X) 上的偏好关系 ⪰ 存在期望效用表示, 若存在函数 U: L(X) \to ℝ 使得 p ⪰ q 若且唯若 U (p) \ge U (q), 并且 U 可以表示为某个效用函数 u: X \to ℝ 的期望: U(p) = \sum_{x \in X} p(x) u(x), \forall p \in L (X).

定理 (vNM 定理). 令 ⪰ 为定义在 L(X) 上的偏好关系. 下面两个陈述是等价的: (1) ⪰ 满足 vNM 三公理; (2) ⪰ 存在期望效用表示.

• (1) \implies (2) 的证明有一点复杂, 你需要构造某个 vNM 效用函数 u. 我不打算在课堂上介绍这个构造.
• (2) \implies (1) 的证明很直接, 留作习题. 你需要验证, 当存在期望效用表示时, vNM 的三条公理是自动满足的.

期望效用和正仿射变换

从现在起, 我们将直接使用效用函数来描述张三的行为.

• 张三的偏好由 vNM 效用函数 u : X → R 表示.
  • 注意, 这里的效用函数 u 是定义在确定性结果 X 上的, 我们用小写 u 表示.
• 彩票 p 对张三的期望效用为 U(p) = \sum_{x \in X} p(x)u(x).
  • 用大写字母 U 表示期望效用

你可以对效用函数 u 进行任意的正仿射变换, 得到的新效用函数 v 也同样可以表示张三的偏好.

• 正仿射变换: v(x) = α u(x) + β, 其中 α > 0 且 β ∈ ℝ.
• 对于所有 p, q ∈ L(X), \sum_{x \in X} p(x)v(x) \geq \sum_{x \in X} q(x)v(x) \text{ 若且唯若 } \sum_{x \in X} p(x)u(x) \geq \sum_{x \in X} q(x)u(x)

练习: Allais 悖论

Allais 悖论是由法国经济学家 Maurice Allais 在1953年提出的一个经典实验, 用于检验期望效用理论的合理性. 实验设计如下:

• 比较彩票 A 和彩票 B:
  • 彩票 A: (1 \circ 100 万元)
  • 彩票 B: (33% \circ 500 万元, 66% \circ 100 万元, 1% \circ 0 元)

第一问: 你认为 A 和 B 哪个更好, 或者无差异? 简单说明你的选择背后的依据.

• 比较彩票 A' 和彩票 B':
  • 彩票 A': (34% \circ 100 万元, 66% \circ 0 元)
  • 彩票 B': (33% \circ 500 万元, 67% \circ 0 元)

第二问: 你认为 A' 和 B' 哪个更好, 或者无差异? 简单说明你的选择背后的依据.

实验表明, 大多数人都同时认为:

• 彩票 A 严格优于彩票 B
• 彩票 B' 严格优于彩票 A'

第三问: 实验结果可以用期望效用模型来解释么?